В случайном эксперименте симметричную монету бросают... раз

В качестве предисловия. Все знают, что монета имеет две стороны - орёл и решку. Нумизматы считают, что монета имеет три стороны - аверс, реверс и гурт. И среди тех, и среди других, мало кто знает, что такое симметричная или математическая монета. Зато об этом знают (ну, или должны знать :), те, кто готовится сдавать ЕГЭ. В общем, в этой статье речь пойдёт о необычной монете, которая, к нумизматике никакого отношения не имеет, но, при этом, является самой популярной монетой среди школьников.

Итак. Симметричная монета - это воображаемая математически идеальная монета без размера, веса и диаметра. Как следствие, гурта у такой монеты тоже нет, то есть вот она-то действительно имеет только две стороны. Главное свойство симметричной монеты в том, что при таких условиях вероятность выпадения орла или решки абсолютно одинакова. А придумали симметричную математическую монету для проведения мысленных экспериментов.
Самая популярная задача с математической монетой звучит так - "В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды (трижды, четырежды и т.д.). Найдите вероятность того, что одна из сторон выпадет определённое количество раз."

Решение задачи с симметричной монетой

Понятно, что в результате броска математическая монета упадёт либо орлом, либо решкой. Сколько раз - зависит от того, сколько бросков совершить. Вероятность выпадения орла или решки вычисляется делением количества удовлетворяющих условию исходов на общее количество возможных исходов. Рассмотрим решение данной задачи на конкретных примерах.

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают один раз

Здесь всё просто. Выпадет либо орёл, либо решка. То есть, имеем два возможных исхода, один из которых нас удовлетворяет

 - 1/2=50%

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды

За два броска могут выпасть:

• два орла
• две решки
• орёл, затем решка
• решка, затем орёл

Итак, возможны всего четыре варианта. Задачи с более, чем одним броском, проще всего решать составлением таблицы возможных вариантов. Для простоты, обозначим орла цифрой "0", а решку цифрой "1".
Тогда таблица возможных исходов будет выглядеть так:

00
01
10
11

Если, например, нужно найти вероятность того, что орёл выпадет один раз, требуется просто подсчитать количество подходящих вариантов в таблице - то есть тех строк, где орёл встречается один раз. Таких строк две (вторая и третья). Значит, вероятность выпадения одного орла в двух бросках симметричной монеты равна 2/4=50%
Вероятность того, что орёл в двух бросках выпадет дважды равна 1/4=25%, так как два орла встречаются в таблице один раз (первая строка).

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды

Составляем таблицу вариантов:
000
001
010
011
100
101
110
111

Те, кто знаком с двоичным исчислением, понимают, к чему мы пришли. :) Да, это двоичные числа от "0" до "7". Так проще не запутаться с вариантами, поскольку строки таблицы вариантов представляют собой логическую последовательность.
Решим задачу из предыдущего пункта - вычислим вероятность того, что орёл выпадет один раз. Строк, где "0" встречается один раз имеется три. Значит, вероятность выпадения одного орла в трёх бросках симметричной монеты равна трём из восьми - 3/8=37,5%

Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды тоже равна 3/8=37,5%, то есть абсолютно такая же.

Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 1/8=12,5%.

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды

Составляем таблицу вариантов:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

Вероятность того, что орёл выпадет один раз. Строк, где "0" встречается один раз имеется всего три, так же, как и в случае трёх бросков. Но, вариантов уже шестнадцать. Значит, вероятность выпадения одного орла в четырёх бросках симметричной монеты равна три из шестнадцати - 3/16=18,75%

Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет дважды равна 6/8=75%.

Вероятность того, что орёл в трёх бросках выпадет трижды равна 4/8=50%.

 

В случайном эксперименте симметричную монету бросают ... раз

С увеличением количества бросков, принцип решения задачи совершенно не меняется - только, в соответствующей прогрессии, увеличивается количество вариантов. Принцип тот же - составляем таблицу вариантов и подсчитываем количество требуемых результатов. Делением количества удовлетворяющих нас результатов на общее количество попыток получаем вероятность выпадения нужного результата.
Даже, если например, симметричную монету бросают 10 раз. Таблица получится очень большая, но составить её несложно. А в принципе и делать это самому необязательно, можно найти в интернете. Для подсчёта нулей и единиц тоже нет необходимости водить по бумаге или экрану карандашом - для этого можно использовать, например, Excel. Да, компьютер очень нужная вещь, если научится им пользоваться. :)